Puissance d'une fonction - Math'φsics

Puissance d'une fonction

Formulaire de report
Problème d'affichage Contenu de la note peu pertinent

Définition
Définition
Soit \(f:{\Bbb R}\to{\Bbb R}\) et \(n\in{\Bbb N}\)
La puissance \(n\)-ième de \(f\) est la fonction définie par : $$f^n(x)=\underbrace{f(x)\times\cdots\times f(x)}_{n\text{ fois} }$$
(Produit de fonctions)

Dérivation
Si \(f\) est dérivable, la dérivée de la puissance d'une fonction est donnée par : $$\left( {{f^n(x)}}\right)'={{nf^{n-1}(x)f'(x)}}$$
(Dérivée - Dérivation)

Soit \(f\) une fonction dérivable et \(n\in{\Bbb N}\). Calculer la dérivée de l'expression \(f^n(x)\)

Définition d'une fonction intermédiaire
On note \(g:x\mapsto x^n\) la fonction puissance. \(g\) est dérivable et \(g^\prime (x)=nx^{n-1}\)

Appliquer la règle de la chaîne

$$\begin{align}\left( f^n(x)\right)^\prime &=(g\circ f)^\prime (x)\\ &=(g^\prime \circ f)(x)\times f^\prime (x)\\ &=nf^{n-1}(x)f^\prime (x)\end{align}$$

(Puissance, Règle de la chaîne)
Rétroliens :
- Fonction hyperbolique
- Fonction